跳到主要内容

赫斯顿模型_Heston Model

什么是赫斯顿模型？​

赫斯顿模型（Heston Model）以斯蒂夫·赫斯顿（Steve Heston）命名，是一种用于对欧洲期权进行定价的随机波动模型。

关键要点​

  • 赫斯顿模型是一种利用随机波动性进行期权定价的模型。
  • 这意味着该模型假设波动性是任意的，而与保持波动性不变的布莱克-舒尔斯模型（Black-Scholes Model）形成对比。
  • 赫斯顿模型是一种波动微笑模型，它以图形方式展示了多种到期日相同的期权，随着期权变得更深度实值（ITM）或更深度虚值（OTM），波动性逐渐增加。

理解赫斯顿模型​

赫斯顿模型由副教授斯蒂文·赫斯顿于1993年开发，是一种可以用于对不同证券期权定价的模型。它与更为流行的布莱克-舒尔斯期权定价模型相比较。[1]

总体而言，期权定价模型被高级投资者用来估计和判断特定期权的价格，涉及金融市场中某一基础证券的交易。期权的价格与其基础证券相似，会在交易日中不断变化。期权定价模型试图分析和整合导致期权价格波动的变量，以确定最佳的投资期权价格。

作为一种随机波动模型，赫斯顿模型使用统计方法来计算和预测期权定价，假设波动性为任意的。波动性被假定为任意而非恒定，是使随机波动模型独特的关键因素。其他类型的随机波动模型包括SABR模型、陈模型和GARCH模型。

关键差异​

赫斯顿模型具有一些特征，使其与其他随机波动模型区别开来，主要包括：

  • 考虑到股票价格与其波动性之间可能存在的相关性。
  • 传达波动性会回归到平均水平。
  • 提供封闭形式的解，即答案来源于一组公认的数学运算。
  • 不要求股票价格遵循对数正态概率分布。

赫斯顿模型也是一种波动微笑模型。"微笑"指的是波动微笑，这是一种图形表示，同样到期的多种期权显示出随着期权变得更加ITM或OTM而波动性 increasing 的形态。微笑模型的名称来源于图形的凹形轮廓，类似于微笑。

赫斯顿模型方法论​

赫斯顿模型是用于期权定价的封闭形式解，旨在克服布莱克-舒尔斯期权定价模型的一些局限性。赫斯顿模型是高级投资者的一种工具。

dSt=rStdt+VtStdW1tdVt=k(θ−Vt)dt+σVtdW2t其中：St=时刻 t 的资产价格r=无风险利率 – 理论上没有风险的资产的利率Vt=资产价格的波动性 (标准差)σ= Vt 的波动性θ=长期价格方差k=回归到 θ的速率dt=无限小的正时间增量W1t=资产价格的布朗运动W2t=资产价格方差的布朗运动\begin{aligned} &dS_t = rS_tdt + \sqrt{ V_t } S_tdW_{1t} \\ &dV_t = k ( \theta - V_t ) dt + \sigma \sqrt{ V_t } dW_{2t} \\ &\textbf{其中：} \\ &S_t = \text{时刻 } t \text{ 的资产价格} \\ &r = \text{无风险利率 -- 理论上} \\ &\text{没有风险的资产的利率} \\ &\sqrt{ V_t } = \text{资产价格的波动性 (标准差)} \\ &\sigma = \text{ } \sqrt{ V_t } \text{ 的波动性} \\ &\theta = \text{长期价格方差} \\ &k = \text{回归到 } \theta \text{的速率} \\ &dt = \text{无限小的正时间增量} \\ &W_{1t} = \text{资产价格的布朗运动} \\ &W_{2t} = \text{资产价格方差的布朗运动} \\ \end{aligned}

赫斯顿模型与布莱克-舒尔斯模型​

布莱克-舒尔斯模型于1970年代推出，是帮助投资者确定与证券相关的期权价格的首个模型之一。总体而言，它有助于推动期权投资，因为它为分析各种证券的期权价格创建了模型。

布莱克-舒尔斯模型和赫斯顿模型都基于可以通过高级Excel或其他定量系统编程的基础计算。布莱克-舒尔斯看涨期权公式通过将股票价格乘以累积标准正态概率分布函数来计算。

之后，计算上得出的值减去行权价格乘以累积标准正态分布的净现值（NPV）。

在数学符号中，

相反，认购期权的价值可以使用以下公式计算：

在这两个公式中，S为股票价格，K为行权价格，r为无风险利率，T为到期时间。

d1的公式为：

d2的公式为：

特殊考虑​

赫斯顿模型因其试图解决布莱克-舒尔斯模型的主要局限性而备受关注，该模型保持波动性不变。赫斯顿模型中随机变量的使用提供了波动性并非恒定而是任意的概念。

基本的布莱克-舒尔斯模型和赫斯顿模型仍仅提供欧洲期权的定价估计，即只能在到期日行使的期权。对通过布莱克-舒尔斯和赫斯顿模型定价美式期权的各种研究和模型已经被探讨。这些变体为可以在到期日前的任何日期行使的期权（如美式期权）提供估计。

参考文献​

[1] Corporate Finance Institute. "Heston Model." Accessed May 22, 2021.